1. 拉格朗日求極值怎么解

對(duì)于無(wú)約束條件的函數(shù)求極值，主要利用導(dǎo)數(shù)求解法

例如求解函數(shù)f(x,y)=x3-4x2+2xy-y2+1的極值。步驟如下：

（1）求出f(x,y)的一階偏導(dǎo)函數(shù)f’x(x,y),f’y(x,y)。

f’x(x,y) = 3x2-8x+2y

f’y(x,y) = 2x-2y

（2）令f’x(x,y)=0,f’y(x,y)=0，解方程組。

3x2-8x+2y = 0

2x-2y = 0

得到解為(0,0),(2,2)。這兩個(gè)解是f(x,y)的極值點(diǎn)。

2. 拉格朗日 求極值

這里用的是導(dǎo)數(shù)的定義，不是拉格朗日中值定理，雖然有點(diǎn)象，但其本質(zhì)是不一樣的。當(dāng)然，拉格拉日中值定理只要原函數(shù)在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，在閉區(qū)間內(nèi)連續(xù)就可以了，沒(méi)有要求導(dǎo)函數(shù)一定要連續(xù)

3. 拉格朗日不等式求極值

在數(shù)學(xué)最優(yōu)化問(wèn)題中，拉格朗日乘數(shù)法（以數(shù)學(xué)家約瑟夫·路易斯·拉格朗日命名）是一種尋找變量受一個(gè)或多個(gè)條件所限制的多元函數(shù)的極值的方法。這種方法將一個(gè)有n 個(gè)變量與k 個(gè)約束條件的最優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)換為一個(gè)有n + k個(gè)變量的方程組的極值問(wèn)題，其變量不受任何約束。這種方法引入了一種新的標(biāo)量未知數(shù)，即拉格朗日乘數(shù)：約束方程的梯度（gradient）的線性組合里每個(gè)矢量的系數(shù)。

引入新變量拉格朗日乘數(shù)，即可求解拉格朗日方程

此方法的證明牽涉到偏微分，全微分或鏈法，從而找到能讓設(shè)出的隱函數(shù)的微分為零的未知數(shù)的值。

4. 拉格朗日定理求極值

求極限常用等價(jià)無(wú)窮小替代、洛必達(dá)法則、泰勒公式等方法，有時(shí)候等價(jià)無(wú)窮小不能用，洛必達(dá)法則過(guò)于繁瑣，泰勒公式法雖然強(qiáng)大但是相對(duì)麻煩。對(duì)有一些形式，使用拉格朗日中值定理非常便捷。下面舉兩個(gè)個(gè)例子：

這種形式的式子，很明顯直接使用等價(jià)無(wú)窮小是不行的，洛必達(dá)法則又麻煩至極，泰勒公式做起來(lái)也不輕松。

我們發(fā)現(xiàn)上述式子有這樣的特點(diǎn)：右側(cè)減法式子里，兩項(xiàng)的形式都非常類似，并且隨著極限的趨向，兩項(xiàng)越來(lái)越接近。這時(shí)候我們可以使用拉格朗日中值定理處理這個(gè)減法式子。

于是上述式子就可以變成（恒等變換）：

這個(gè)時(shí)候，隨著x的增大，可以發(fā)現(xiàn)，拉格朗日中值定理作用的區(qū)間越來(lái)越小，最終可以確定

然后接下來(lái)就非常好辦了

上面的式子有這樣的共性：1.存在兩項(xiàng)相減因式且形式相同；2.隨著x的變化，因式的兩項(xiàng)越來(lái)越接近（

所在區(qū)間變小）

5. 拉格朗日乘數(shù)求極值

判斷是極大值還是極小值點(diǎn)，一個(gè)初步的方法是依靠經(jīng)驗(yàn)和對(duì)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)。當(dāng)不能作出有效判斷時(shí)，可以求取函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)進(jìn)行判斷，其實(shí)一個(gè)簡(jiǎn)單的方法是比較該極值點(diǎn)的函數(shù)值與相鄰點(diǎn)的函數(shù)來(lái)作出判斷。

至于存在不能化為無(wú)條件極值的問(wèn)題，一般是先不管約束條件建立求解極值點(diǎn)的方程，然后再限制在約束條件下求出最后解答，具體的過(guò)程，建議參看變分原理等數(shù)學(xué)或力學(xué)書(shū)籍，如《計(jì)算動(dòng)力學(xué)》中就有提到，不過(guò)這本書(shū)不是純粹的數(shù)學(xué)推演。

6. 拉格朗日中值定理求極值的方法

1.求函數(shù)的定義域；

2.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；

3.解不等式導(dǎo)數(shù)大于0，導(dǎo)數(shù)小于0的解集；

4.根據(jù)導(dǎo)數(shù)大于0以及導(dǎo)數(shù)小于0的解集，得到這個(gè)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間；

5.根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)的極值點(diǎn)有哪些，是極大值還是極小值，先減后增是極小值，先增后減是極大值；

6.分別代入每個(gè)極值點(diǎn)，求函數(shù)的所有極值，如果只有極小值，答案中一定注明“無(wú)極大值”，只有極大值也是如此。

7. 拉格朗日法求極值快速求解

拉格朗日乘數(shù)法是多元微分學(xué)中用來(lái)求函數(shù)z=f(x,y)在滿足g(x,y)=0條件下的極值問(wèn)題的方法：通過(guò)設(shè)F(x,y)=f(x,y)+λg(x,y),其中λ稱為拉格朗日乘數(shù),并求F(x,y)的極值點(diǎn)求得條件極值的方法