1. 羅爾拉格朗日和柯西定理之間的關(guān)系

使用區(qū)間是閉區(qū)間，且要求在區(qū)間上連續(xù)可導(dǎo)考研的話，微分中值定理是高數(shù)的重點(diǎn)及難點(diǎn)考試的話一般拿來壓軸所以這章是很深的，一般需要構(gòu)造另外一個(gè)函數(shù)才能完成證明題.我看的書都是借圖書館的,多去圖書館吧.

2. 拉格朗日定理與柯西定理

拉格朗日中值定理是微積分中的重要定理之一，大多數(shù)是利用羅爾中值定理構(gòu)建輔助函數(shù)來證明的。

擴(kuò)展資料

　　拉格朗日中值定理又稱拉氏定理，是微分學(xué)中的基本定理之一，它反映了可導(dǎo)函數(shù)在閉區(qū)間上的.整體的平均變化率與區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)的局部變化率的關(guān)系。拉格朗日中值定理是羅爾中值定理的推廣，同時(shí)也是柯西中值定理的特殊情形，是泰勒公式的弱形式（一階展開）。

　　法國數(shù)學(xué)家拉格朗日于1797年在其著作《解析函數(shù)論》的第六章提出了該定理，并進(jìn)行了初步證明，因此人們將該定理命名為拉格朗日中值定理。

3. 拉格朗日定理羅爾定理柯西定理

特殊到一般的關(guān)系。連續(xù)函數(shù)介值定理是引理，最特殊的。羅爾定理f(b)=f(a)所以有a<c<bf'(c)=0拉格朗日不要求f(b)=f(a)只要連續(xù)可導(dǎo)有f'(c)=[f(b)-f(a)]/[b-a],如果f(b)=f(a)就是羅爾定理。柯西中值定理f(x)g(x)連續(xù)可導(dǎo)，gx導(dǎo)數(shù)不為0既有f'(c)/g'(c)=[fb-fa]/[gb-ga]如果設(shè)g(x)=x則g(b)=bg(a)=a就是拉格朗日中值定理了。所以說拉格朗日是柯西的特殊情況(g(x)=x)羅爾是拉格朗日的特殊情況(f(b)=f(a))

4. 羅爾定理推導(dǎo)拉格朗日

羅爾定理可知。

fa=fb時(shí)，存在某點(diǎn)e，使f′e=0。

開始證明拉格朗日。

假設(shè)一函數(shù)fx。

目標(biāo)：證明fb-fa=f′e(b-a)，即拉格朗日。

假設(shè)fx來做成一個(gè)毫無意義的函數(shù)，fx-(fb-fa)/(b-a)*x，我們也不知道他能干啥，是我們隨便寫的一個(gè)特殊函數(shù)，我們令它等于Fx。

這個(gè)特殊函數(shù)在于，這個(gè)a和b，正好滿足Fb=Fa，且一定存在這個(gè)a和b。

此時(shí)就有羅爾定理的前提了。

于是得出有一個(gè)e，能讓F′e=0(羅爾定理)

即(fx-(fb-fa)/(b-a)*x)′，

上面求導(dǎo)等于f′x-(fb-fa)/(b-a)。

將唯一的x帶換成e，并且整個(gè)式子等于0。

變成f′e-(fb-fa)/(b-a)=0→

f′e=(fb-fa)/(b-a)→

f′e(b-a)=(fb-fa)。

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證明過程

證明：因?yàn)楹瘮?shù) f(x) 在閉區(qū)間[a,b] 上連續(xù)，所以存在最大值與最小值，分別用 M 和 m 表示，分兩種情況討論：

1. 若 M=m，則函數(shù) f(x) 在閉區(qū)間 [a,b] 上必為常函數(shù)，結(jié)論顯然成立。

2. 若 M>m，則因?yàn)?f(a)=f(b) 使得最大值 M 與最小值 m 至少有一個(gè)在 (a,b) 內(nèi)某點(diǎn)ξ處取得，從而ξ是f(x)的極值點(diǎn)，又條件 f(x) 在開區(qū)間 (a,b) 內(nèi)可導(dǎo)得，f(x) 在 ξ 處取得極值，由費(fèi)馬引理推知：f'(ξ)=0。

另證：若 M>m ，不妨設(shè)f(ξ)=M，ξ∈(a,b)，由可導(dǎo)條件知，f'(ξ+)<=0，f'(ξ-)>=0，又由極限存在定理知左右極限均為 0，得證。

幾何意義

若連續(xù)曲線y=f(x) 在區(qū)間 [a,b] 上所對(duì)應(yīng)的弧段 AB，除端點(diǎn)外處處具有不垂直于 x 軸的切線，且在弧的兩個(gè)端點(diǎn) A,B 處的縱坐標(biāo)相等，則在弧 AB 上至少有一點(diǎn) C，使曲線在C點(diǎn)處的切線平行于 x 軸。

首先是式子進(jìn)行整理，整理成左邊是式子，右邊是零，其次是構(gòu)造函數(shù)，構(gòu)造的這個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要等于原來的函數(shù)，這便于用羅爾定理，其次是要找出能使用羅爾定理的最后一個(gè)條件，即兩個(gè)函數(shù)值相等，最后用羅爾定理證明必有一點(diǎn)導(dǎo)數(shù)值為零，即得證。

5. 羅爾定理和拉格朗日定理之間的關(guān)系

拉格朗日定理存在于多個(gè)學(xué)科領(lǐng)域中，分別為：流體力學(xué)中的拉格朗日定理；微積分中的拉格朗日定理；數(shù)論中的拉格朗日定理；群論中的拉格朗日定理。

正壓理想流體在質(zhì)量力有勢的情況下，如果初始時(shí)刻某部分流體內(nèi)無渦,則在此之前或以后的任何時(shí)刻中這部分流體皆為無渦。以某一起始時(shí)刻每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)位置（a、b、c），作為該質(zhì)點(diǎn)的標(biāo)志。 如果在一個(gè)正整數(shù)的因數(shù)分解式中，沒有一個(gè)數(shù)有形式如4k+3的質(zhì)數(shù)次方，該正整數(shù)可以表示成兩個(gè)平方數(shù)之和。

6. 羅爾定理和拉格朗日定理柯西中值定理關(guān)系

如果函數(shù)f(x)及F(x)滿足：

　　(1)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)；

　　(2)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導(dǎo)；

　　(3)對(duì)任一x∈(a，b)，F(xiàn)'(x)≠0，

　　那么在(a，b)內(nèi)至少有一點(diǎn)ζ，使等式

　　[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'(ζ)/F'(ζ)成立。

　　柯西簡潔而嚴(yán)格地證明了微積分學(xué)基本定理即牛頓－萊布尼茨公式。他利用定積分嚴(yán)格證明了帶余項(xiàng)的泰勒公式，還用微分與積分中值定理表示曲邊梯形的面積，推導(dǎo)了平面曲線之間圖形的面積、曲面面積和立體體積的公式。

7. 羅爾定理與拉格朗日定理之間的關(guān)系

拉格朗日定理，數(shù)理科學(xué)術(shù)語，存在于多個(gè)學(xué)科領(lǐng)域中，分別為：微積分中的拉格朗日中值定理；數(shù)論中的四平方和定理；群論中的拉格朗日定理 (群論)。拉格朗日定理是群論的定理，利用陪集證明了子群的階一定是有限群G的階的約數(shù)值。

1.定理內(nèi)容

敘述：設(shè)H是有限群G的子群，則H的階整除G的階。

8. 費(fèi)馬羅爾拉格朗日柯西定理

由開爾文定理可直接推論得到拉格朗日定理（Lagrange theorem），即漩渦不生不滅定理:

正壓理想流體在質(zhì)量力有勢的情況下，如果初始時(shí)刻某部分流體內(nèi)無渦，則在此之前或以后的任何時(shí)刻中這部分流體皆為無渦。反之，若初始時(shí)刻該部分流體有渦，則在此之前或以后的任何時(shí)刻中這部分流體皆為有渦。

9. 羅爾定理和拉格朗日定理和柯西定理的關(guān)系

拉格朗日定理的意義如下：

1、拉格朗日中值定理是微分中值定理的核心，其他中值定理是拉格朗日中值定理的特殊情況和推廣，它是微分學(xué)應(yīng)用的橋梁，在理論和實(shí)際中具有極高的研究價(jià)值。

2、幾何意義： 若連續(xù)曲線在 兩點(diǎn)間的每一點(diǎn)處都有不垂直于x軸的切線，則曲線在A，B間至少存在1點(diǎn) ，使得該曲線在P點(diǎn)的切線與割線AB平行。

3、運(yùn)動(dòng)學(xué)意義：對(duì)于曲線運(yùn)動(dòng)在任意一個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中至少存在一個(gè)位置（或一個(gè)時(shí)刻）的瞬時(shí)速率等于這個(gè)過程中的平均速率。拉格朗日中值定理在柯西的微積分理論系統(tǒng)中占有重要的地位。可利用拉格朗日中值定理對(duì)洛必達(dá)法則進(jìn)行嚴(yán)格的證明，并研究泰勒公式的余項(xiàng)。從柯西起，微分中值定理就成為研究函數(shù)的重要工具和微分學(xué)的重要組成部分。