一、羅爾定理與拉格朗日中值定理
拉格朗日中值定理是特殊的柯西中值定理，柯西中值定理是廣義的拉格朗日中值定理。
二、羅爾定理拉格朗日中值定理證明題
羅爾（Rolle）中值定理是微分學中一條重要的定理，是三大微分中值定理之一，其他兩個分別為：拉格朗日（Lagrange）中值定理、柯西（Cauchy）中值定理。
羅爾定理描述如下：
如果 R 上的函數 f(x) 滿足以下條件：（1）在閉區間 [a,b] 上連續，（2）在開區間 (a,b) 內可導，（3）f(a)=f(b)，則至少存在一個 ξ∈(a,b)，使得 f'(ξ)=0。
三、羅爾定理拉格朗日中值定理柯西中值定理
拉格朗日中值定理是微分中值定理的核心，其他中值定理是拉格朗日中值定理的特殊情況和推廣，它是微分學應用的橋梁，在理論和實際中具有極高的研究價值。 幾何意義： 若連續曲線在 兩點間的每一點處都有不垂直于x軸的切線，則曲線在A，B間至少存在1點 ，使得該曲線在P點的切線與割線AB平行。 運動學意義：對于曲線運動在任意一個運動過程中至少存在一個位置（或一個時刻）的瞬時速率等于這個過程中的平均速率。 拉格朗日中值定理在柯西的微積分理論系統中占有重要的地位。可利用拉格朗日中值定理對洛必達法則進行嚴格的證明，并研究泰勒公式的余項。從柯西起，微分中值定理就成為研究函數的重要工具和微分學的重要組成部分。
四、羅爾定理與拉格朗日中值定理的關系
證明：因為函數 f(x) 在閉區間[a,b] 上連續，所以存在最大值與最小值，分別用 M 和 m 表示，分兩種情況討論：1. 若 M=m，則函數 f(x) 在閉區間 [a,b] 上必為常函數，結論顯然成立。
1羅爾定理的證明過程
證明：因為函數 f(x) 在閉區間[a,b] 上連續，所以存在最大值與最小值，分別用 M 和 m 表示，分兩種情況討論：
1. 若 M=m，則函數 f(x) 在閉區間 [a,b] 上必為常函數，結論顯然成立。
2. 若 M>m，則因為 f(a)=f(b) 使得最大值 M 與最小值 m 至少有一個在 (a,b) 內某點ξ處取得，從而ξ是f(x)的極值點，又條件 f(x) 在開區間 (a,b) 內可導得，f(x) 在 ξ 處取得極值，由費馬引理，可導的極值點一定是駐點，推知：f'(ξ)=0。
另證：若 M>m ，不妨設f(ξ)=M，ξ∈(a,b)，由可導條件知，f'(ξ+)<=0，f'(ξ-)>=0，又由極限存在定理知左右極限均為 0，得證。
2羅爾定理是什么
羅爾定理一般指羅爾中值定理。
羅爾（Rolle）中值定理是微分學中一條重要的定理，是三大微分中值定理之一，其他兩個分別為：拉格朗日（Lagrange）中值定理、柯西（Cauchy）中值定理。
羅爾定理描述如下：
如果 R 上的函數 f(x) 滿足以下條件：（1）在閉區間 [a,b] 上連續，（2）在開區間 (a,b) 內可導，（3）f(a)=f(b)，則至少存在一個 ξ∈(a,b)，使得 f'(ξ)=0。
五、羅爾定理與拉格朗日中值定理的區別
特殊到一般的關系。連續函數介值定理是引理，最特殊的。羅爾定理f(b)=f(a)所以有a<c<bf'(c)=0拉格朗日不要求f(b)=f(a)只要連續可導有f'(c)=[f(b)-f(a)]/[b-a],如果f(b)=f(a)就是羅爾定理。柯西中值定理f(x)g(x)連續可導，gx導數不為0既有f'(c)/g'(c)=[fb-fa]/[gb-ga]如果設g(x)=x則g(b)=bg(a)=a就是拉格朗日中值定理了。所以說拉格朗日是柯西的特殊情況(g(x)=x)羅爾是拉格朗日的特殊情況(f(b)=f(a))
六、羅爾定理與拉格朗日中值定理的幾何意義
特殊到一般的關系。連續函數介值定理是引理，最特殊的。羅爾定理f(b)=f(a)所以有a<c<bf'(c)=0拉格朗日不要求f(b)=f(a)只要連續可導有f'(c)=[f(b)-f(a)]/[b-a],如果f(b)=f(a)就是羅爾定理?？挛髦兄刀ɡ韋(x)g(x)連續可導，gx導數不為0既有f'(c)/g'(c)=[fb-fa]/[gb-ga]如果設g(x)=x則g(b)=bg(a)=a就是拉格朗日中值定理了。所以說拉格朗日是柯西的特殊情況(g(x)=x)羅爾是拉格朗日的特殊情況(f(b)=f(a))
七、羅爾定理與拉格朗日中值定理有怎樣的關系呢
羅爾中值定理的應用
羅爾中值定理
函數y=f(x)滿足：
1、f(x)∈C[a,b];
2、f(x)∈D(a,b);
3、f(a)=f(b)。
?f(ξ)`=0，(a<ξ<b)。
應用
1、證明方程存在唯一解；
2、證明方程有解。
步驟
證明方程存在唯一解:
1、證明方程有解；
2、證明方程只有一個解。
證明方程有解:
1、聯想羅爾中值定理的結論：f(ξ)`=0，可將需要證明的方程看作是某個函數的一階導數，并求出原函數；
2、套用羅爾中值定理的三個條件，得出最終證明。